필답 46. 점광원으로부터의 거리 변화에 따른 조도 계산 – 전체

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설명

정의

점광원으로부터의 거리 변화에 따른 조도 계산은 특정 광원(Light Source)이 모든 방향으로 빛을 균일하게 방출하는 점광원(Point Light Source)일 때, 광원으로부터 측정 지점까지의 거리 변화에 따라 변하는 조도(Illuminance, 어떤 면이 받는 빛의 밝기)를 산출하는 방법입니다.

조도는 광원의 광도(Luminous Intensity)에 비례하고, 광원으로부터의 거리의 제곱에 반비례한다는 ‘거리 역제곱의 법칙(Inverse-Square Law)’을 따릅니다. 이 계산법은 작업장의 조도 기준을 평가하여 작업자의 눈 피로를 덜고 안전한 시야를 확보하기 위한 조명 설계 및 조도 개선 대책 수립에 기본적으로 활용됩니다.

공식

기본 조도 계산 공식 (법선조도):

E = \frac{I}{d^2}

여기서 각 변수와 단위의 정의는 다음과 같습니다.

$E$: 조도 (Illuminance, 단위: $\text{lux}$)
$I$: 광도 (Luminous Intensity, 단위: $\text{cd}$, Candela)
$d$: 광원으로부터 수음점(측정점)까지의 거리 (단위: $\text{m}$)

동일 광원에 대한 거리 변화에 따른 조도 비례식 (거리 역제곱의 법칙):

동일한 광도 $I$를 가진 점광원에 대하여 거리 $d_1$에서의 조도가 $E_1$이고, 거리 $d_2$에서의 조도가 $E_2$일 때 다음과 같은 등식이 성립합니다.

E_1 \times d_1^2 = E_2 \times d_2^2 = I \text{ (일정)}

이를 변형하여 새로운 거리 $d_2$에서의 조도 $E_2$를 직접 구하는 공식은 다음과 같습니다.

E_2 = E_1 \times \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2

광량(광속)이 주어지는 경우의 간소화 조도 공식:

수험 시험 환경에서 광원 주위의 반사경 등이 없는 점광원으로부터 특정 거리 $d$만큼 떨어진 지점의 조도를 광량(광속, $F$)을 기준으로 단순화하여 구할 때 적용하는 산식입니다.

E = \frac{F}{d^2}

여기서 각 변수와 단위의 정의는 다음과 같습니다.

$E$: 조도 (단위: $\text{lux}$)
$F$: 광량 또는 광속 (단위: $\text{lm}$, Lumen)
$d$: 거리 (단위: $\text{m}$)

적용 조건

점광원의 전제:

본 공식은 크기가 거리에 비해 충분히 작아서 점(Point)으로 취급할 수 있는 점광원과 빛이 수음면에 수직으로 입사하는 법선 조도 상태를 기준으로 적용됩니다. 선광원(Line Source)이나 면광원(Area Source)에는 적용할 수 없으며, 사각 조도(빛이 비스듬히 입사하는 경우)에는 입사각의 코사인($\cos$) 성분을 곱하는 보정이 필요합니다.

반사율 및 감쇠 요인의 배제:

주변 벽면이나 천장으로부터의 반사광이 없고, 공기 중에 의한 빛의 흡수나 산란 등 에너지 감쇠 요인이 존재하지 않는 자유 공간(이상적인 환경)임을 가정합니다.

작업면 조도 법적 기준 (산업안전보건기준에 관한 규칙 제8조):

계산된 조도 수치는 작업장의 유해·위험 방지를 위한 법적 기준 조도와 연계하여 평가할 수 있어야 합니다.
초정밀작업: $750\ \text{lux}$ 이상
정밀작업: $300\ \text{lux}$ 이상
보통작업: $150\ \text{lux}$ 이상
그 밖의 작업: $75\ \text{lux}$ 이상

최종 수치 처리 기준:

국가기술자격 주관식 필답형 시험의 일반 규칙에 근거하여, 특별한 자릿수 제한 조건이 주어지지 않은 경우에는 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 일관되게 계산 및 표기합니다.

풀이 순서

1단계: 문제 조건에서 주어진 기존 거리($d_1$)와 조도($E_1$), 그리고 구하고자 하는 대상 지점의 새로운 거리($d_2$)를 정확히 파악하여 정리합니다.

* 2단계: 거리 역제곱의 비례식

E_1 \times d_1^2 = E_2 \times d_2^2

를 수립하거나, 점광원의 광도($I = E_1 \times d_1^2$)를 먼저 계산합니다.

3단계: 구한 광도($I$)를 바탕으로 새로운 거리($d_2$)의 제곱으로 나누어 변경된 위치에서의 조도 $E_2 = \frac{I}{d_2^2}$를 산출합니다.
4단계: 만약 광량($F$)과 거리($d$)가 바로 주어진 경우라면, 간소화 조도 공식 $E = \frac{F}{d^2}$에 직접 수치를 대입하여 계산합니다.
5단계: 국가기술자격 표준 반올림 기준을 적용하여 소수점 자릿수를 정돈하고 조도 단위인 $\text{lux}$를 기재하여 최종 답안을 작성합니다.

예제 문제

문제 1

반사경 없이 모든 방향으로 빛을 발하는 점광원으로부터 $4\ \text{m}$ 떨어진 곳의 조도가 $150\ \text{lux}$일 때, 이 광원으로부터 $3\ \text{m}$ 떨어진 곳에서의 조도($\text{lux}$)를 구하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

문제 2

어느 점광원으로부터 $0.5\ \text{m}$ 떨어진 구면에 비추는 광량이 $8\ \text{lm}$일 때, 이 지점의 조도($\text{lux}$)를 구하시오.

문제 3

특정 기계 부품 조립 라인의 천장에 매달린 점광원 전등으로부터 $5\ \text{m}$ 수직 아래 지점의 조도를 측정하였더니 $180\ \text{lux}$였다. 이 전등을 아래로 내려 작업면과의 수직 거리를 $3\ \text{m}$로 좁혔을 때, 작업면의 조도($\text{lux}$)를 계산하고 이 밝기가 산업안전보건법상 어떤 작업 종류의 조도 기준을 만족하는지 판단하시오.

문제 4

어느 연구실의 점광원으로부터 $2.5\ \text{m}$ 떨어진 곳의 조도가 $400\ \text{lux}$로 집계되었다. 동일한 조건에서 광원으로부터 $4\ \text{m}$ 떨어진 곳의 조도($\text{lux}$)를 계산하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

문제 5

어느 통로 구역에 설치된 점광원에서 $6\ \text{m}$ 떨어진 지점의 조도가 보통 작업면 법적 조도 기준인 $50\ \text{lux}$를 유지하고 있다. 조명 설비의 배치를 최적화하기 위해 동일 광원으로부터 $2\ \text{m}$ 떨어진 지점에서의 조도($\text{lux}$)를 계산하시오.

해설

해설 1

점광원의 광도 ($I$) 계산:

거리 역제곱의 법칙에 따라, 최초 측정 거리 $d_1 = 4\ \text{m}$, 조도 $E_1 = 150\ \text{lux}$를 대입하여 광도를 구합니다.

I = E_1 \times d_1^2 = 150 \times 4^2 = 150 \times 16 = 2,400\ \text{cd}

새로운 거리 ($d_2 = 3\ \text{m}$)에서의 조도 ($E_2$) 계산:

계산된 광도 $I = 2,400\ \text{cd}$를 수식에 대입합니다.

E_2 = \frac{I}{d_2^2} = \frac{2,400}{3^2} = \frac{2,400}{9} \approx 266.6667\ \text{lux}

소수점 정리:

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 최종 소수 둘째 자리로 나타냅니다.

E_2 \approx 266.67\ \text{lux}

정답: $266.67\ \text{lux}$

해설 2

조도 ($E$) 계산:

광량(광속) $F = 8\ \text{lm}$과 점광원까지의 거리 $d = 0.5\ \text{m}$가 주어졌으므로, 점광원 간소화 조도 공식에 대입합니다.

E = \frac{F}{d^2} = \frac{8}{0.5^2} = \frac{8}{0.25} = 32.00\ \text{lux}

정답: $32.00\ \text{lux}$ (또는 $32\ \text{lux}$)

해설 3

점광원의 광도 ($I$) 계산:

기존 수치 $d_1 = 5\ \text{m}$, 조도 $E_1 = 180\ \text{lux}$를 대입하여 광도를 구합니다.

I = E_1 \times d_1^2 = 180 \times 5^2 = 180 \times 25 = 4,500\ \text{cd}

수직 거리 $d_2 = 3\ \text{m}$에서의 조도 ($E_2$) 계산:

E_2 = \frac{I}{d_2^2} = \frac{4,500}{3^2} = \frac{4,500}{9} = 500.00\ \text{lux}

법적 안전 조도 기준 만족 여부 판정:

산업안전보건기준에 관한 규칙 제8조에 따른 조도 기준은 다음과 같습니다.
초정밀작업: $750\ \text{lux}$ 이상
정밀작업: $300\ \text{lux}$ 이상
보통작업: $150\ \text{lux}$ 이상
그 밖의 작업: $75\ \text{lux}$ 이상
계산된 수치 $500\ \text{lux}$는 보통작업($150\ \text{lux}$ 이상) 및 정밀작업($300\ \text{lux}$ 이상) 기준을 모두 상회하여 충분히 만족합니다.

정답:

조도: $500\ \text{lux}$ (또는 $500.00\ \text{lux}$)
판정: 정밀작업 조도 기준 만족

해설 4

점광원의 광도 ($I$) 계산:

최초 수치 $d_1 = 2.5\ \text{m}$, 조도 $E_1 = 400\ \text{lux}$를 적용합니다.

I = E_1 \times d_1^2 = 400 \times 2.5^2 = 400 \times 6.25 = 2,500\ \text{cd}

새로운 거리 $d_2 = 4\ \text{m}$에서의 조도 ($E_2$) 계산:

E_2 = \frac{I}{d_2^2} = \frac{2,500}{4^2} = \frac{2,500}{16} = 156.25\ \text{lux}

정답: $156.25\ \text{lux}$

해설 5

점광원의 광도 ($I$) 계산:

최초 수치 $d_1 = 6\ \text{m}$, 조도 $E_1 = 50\ \text{lux}$를 대입합니다.

I = E_1 \times d_1^2 = 50 \times 6^2 = 50 \times 36 = 1,800\ \text{cd}

새로운 거리 $d_2 = 2\ \text{m}$에서의 조도 ($E_2$) 계산:

E_2 = \frac{I}{d_2^2} = \frac{1,800}{2^2} = \frac{1,800}{4} = 450.00\ \text{lux}

정답: $450.00\ \text{lux}$ (또는 $450\ \text{lux}$)

📊 다음 테마이자 제1편의 마지막 장인 ‘필답 47. 정보량 및 발생 확률에 따른 전달 정보량 기댓값 계산’과 엔트로피($H$) 수식 및 로그 척도를 활용한 정보이론 산출 파트에 대해서도 이처럼 엄격한 공식 보존과 풍부한 기출 변형 문제를 포함하여 정리를 이어갈까요?

필답 46. 점광원으로부터의 거리 변화에 따른 조도 계산

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