필답 16. 시스템 신뢰도 계산 직렬 결합 상황 – 전체

설명

정의

시스템 신뢰도에서 직렬 결합(Series Connection)이란 시스템을 구성하는 여러 부품이나 요소 중 어느 하나라도 고장이나 결함이 발생하면 시스템 전체가 가동을 멈추거나 작동 불능 상태에 빠지는 연결 방식을 뜻합니다. 모든 구성 요소가 동시에 정상적으로 작동해야만 전체 시스템이 정상 기능을 유지할 수 있는 가장 단순하면서도 취약한 결합 상태입니다.

공식

1. 독립적인 n개의 부품이 직렬로 연결된 시스템의 전체 신뢰도($R_s$) 산출 공식:

모든 구성 부품의 개별 신뢰도가 r로 동일한 대칭적 상황인 경우에는 다음과 같이 간소화하여 나타냅니다.
$R_s = r^n$

1. 수리가 불가능한 시스템에서 동일한 n개의 부품이 직렬 구조를 이룰 때, 각 부품의 수명(MTTF)이 동일하고 고장률이 지수분포를 따르는 경우 시스템 전체의 수명($MTTF_s$) 산출 공식:

1. 직렬 결합 시스템의 전체 실패확률($F_s$) 산출 공식:

$F_s = 1 – R_s$

적용 조건

1. 신뢰도 저하의 법칙 적용: 직렬 시스템의 전체 신뢰도는 시스템을 구성하는 부품 중 가장 낮은 신뢰도를 가진 개별 부품의 신뢰도보다 항상 낮거나 같습니다. 부품의 수가 증가할수록 전체 신뢰도가 급격히 감소하는 기하급수적 저하 특성을 갖습니다.
2. 부품 간 가동의 독립성 전제: 시스템 신뢰도를 구하는 확률 연산에서는 각 구성 요소의 작동 사상과 고장 사상이 서로의 확률 변화에 영향을 주지 않는다는 통계적 독립성을 기본 전제로 적용합니다.
3. 수치 반올림 적용 기준: 국가기술자격 검정 실기 시험의 채점 기준 표준에 따라, 지문에 별도로 지정된 소수점 조건이 없는 경우 최종 신뢰도 값과 수명 값은 소수점 셋째 자리에서 반올림을 거쳐 소수 둘째 자리까지 명확히 기재하는 것을 원칙으로 삼습니다. 신뢰도를 백분율($\%$) 단위로 물어볼 때는 최종 소수 값에 100을 곱하여 계산된 비율 수치를 기재합니다.

풀이 순서

1단계: 문제 지문에서 요구하는 가동 부품들의 결합 상태가 직렬 구조인지 파악하고, 각 부품의 개별 신뢰도($R_1, R_2, \dots$) 혹은 고장 확률을 정리합니다.
2단계: 직렬 신뢰도 공식을 대입하여 부품들의 신뢰도를 연쇄적으로 곱하는 확률 연산을 실행합니다.
3단계: 시스템 수명(MTTF)을 구하는 수명 계산 문제인 경우에는 부품 1개의 수명에 부품 개수(n)의 역수를 곱하여 시스템 수명을 도출합니다.
4단계: 산출된 최종 소수점 결과 수치들에 대해 셋째 자리에서 반올림을 실행하여 소수 둘째 자리의 완결된 숫자로 답안을 작성합니다.

예제 문제

문제 1

작업자(인간)의 신뢰도가 0.85이고, 작업자가 조작하는 프레스 기계의 신뢰도가 0.94이다. 작업자와 기계가 직렬 체제로 가동되어 공동 작업을 수행할 때, 이 인간-기계 시스템의 전체 신뢰도를 계산하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.)

문제 2

어느 부품 운송 차량에 동일한 성능을 가진 4개의 타이어가 장착되어 있다. 타이어 각각의 신뢰도는 0.98이다. 주행 중 타이어 중 단 하나라도 파손되면 차량이 멈추거나 정상 주행이 불가한 직렬 결합 구조라고 가정할 때, 이 차량 타이어 시스템의 전체 신뢰도를 백분율로 계산하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

공정 제어 시스템을 구성하는 3개의 부품 A, B, C가 직렬로 연결되어 조업을 수행하고 있다. 각 부품의 신뢰도가 부품 A는 0.90, 부품 B는 0.95, 부품 C는 0.88일 때, 이 제어 시스템 전체의 신뢰도를 산출하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

문제 4

동일한 규격의 부품 5개로 구성된 화학 설비 가동 제어 회로가 직렬 구조를 취하고 있다. 이 부품 1개의 평균 수명(MTTF)이 5,000시간이며 각 부품의 수명이 지수분포를 따를 때, 이 직렬 설비 시스템의 전체 평균 수명(MTTF)을 계산하시오.

문제 5

어느 정밀 화학 공정의 위험 물질 방출 차단 인터록 장치에서 안전 밸브 2개가 직렬로 연결되어 가동되고 있다. 두 안전 밸브의 가동 신뢰도가 각각 0.92, 0.96일 때, 비상 상황 시 인터록 장치가 정상 가동될 시스템 신뢰도와 작동에 실패할 확률(실패확률)을 각각 구하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

해설

해설 1

1. 시스템 가동 구조 분석

인간의 신뢰도와 기계의 신뢰도가 직렬로 작동하므로 직렬 결합 공식을 적용합니다.

1. 수치 대입 및 계산

1. 최종 수치 정제

소수점 셋째 자리인 9에서 반올림하여 둘째 자리로 나타냅니다.
$0.799 \approx 0.80$

정답: 0.80

해설 2

1. 시스템 가동 구조 분석

동일한 신뢰도를 가진 4개의 타이어가 직렬 결합 구조를 이루므로 대칭형 직렬 공식을 적용합니다.
$R_s = r^n$

1. 수치 대입 및 계산

$R_s = 0.98^4 = 0.922368…$

1. 최종 백분율 수치 정제

소수 형태의 결과값에 100을 곱해 비율로 변환한 뒤, 소수점 셋째 자리에서 반올림합니다.
$R_s = 92.2368… \approx 92.24\%$

정답: 92.24%

해설 3

1. 시스템 가동 구조 분석

서로 다른 신뢰도를 가진 3개의 부품 A, B, C가 직렬 연결되어 있으므로 모든 신뢰도를 연쇄 곱합니다.

1. 수치 대입 및 계산

1. 최종 수치 정제

소수점 셋째 자리인 2에서 버림 반올림되어 최종 소수 둘째 자리 값으로 결정됩니다.
$0.7524 \approx 0.75$

정답: 0.75

해설 4

1. 시스템 수명 공식의 적용

직렬 연결된 지수분포 부품들의 전체 시스템 수명 공식에 대입합니다.

1. 수치 대입 및 계산

정답: 1,000시간

해설 5

1. 시스템 신뢰도 계산

두 밸브가 직렬 구조를 취하므로 두 신뢰도를 곱합니다.

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 정리하면 $0.8832 \approx 0.88$입니다.

1. 시스템 실패확률 계산

실패확률은 전체 확률인 1에서 구한 전체 신뢰도를 차감하여 도출합니다.
$F_s = 1 – R_s = 1 – 0.8832 = 0.1168$
소수점 셋째 자리에서 반올림하여 정리하면 $0.1168 \approx 0.12$입니다.

정답: 신뢰도 0.88, 실패확률 0.12