필답 17. 시스템 신뢰도 계산 병렬 결합 상황 – 전체

설명

정의

시스템 신뢰도에서 병렬 결합(Parallel Connection) 또는 중복 설계(Redundancy)란 시스템을 구성하는 여러 부품이나 요소가 동시에 작동을 멈추거나 실패해야만 시스템 전체가 기능 마비 또는 고장 상태에 빠지는 연결 방식을 뜻합니다. 구성 부품 중 단 하나라도 정상 작동을 유지한다면 시스템 전체가 기능을 지속할 수 있으므로, 단일 구성 요소의 고장으로 인한 가동 중단 위험을 획기적으로 낮추기 위해 적용되는 안전 설계 기법입니다.

공식

1. 독립적인 n개의 부품이 병렬로 연결된 시스템의 전체 신뢰도($R_p$) 산출 공식:

$R_p = 1 – (1 – R_1)(1 – R_2) \dots (1 – R_n) = 1 – \prod_{i=1}^{n} (1 – R_i)$

모든 구성 부품의 개별 신뢰도가 r로 동일한 대칭적 상황인 경우에는 다음과 같이 간소화하여 나타낼 수 있습니다.
$R_p = 1 – (1 – r)^n$

1. 병렬 결합 시스템의 전체 실패확률($F_p$, 불신뢰도) 산출 공식:

$F_p = 1 – R_p = \prod_{i=1}^{n} (1 – R_i)$

1. 수리가 불가능한 시스템에서 동일한 n개의 부품이 병렬 구조를 이룰 때, 각 부품의 수명(MTTF)이 동일하고 고장률이 지수분포를 따르는 경우 시스템 전체의 수명($MTTF_p$) 산출 공식:

적용 조건

1. 신뢰도 향상의 법칙 적용: 병렬 결합 시스템의 전체 신뢰도는 시스템을 구성하는 부품 중 가장 높은 신뢰도를 가진 개별 부품의 신뢰도보다 항상 크거나 같습니다. 요소를 중복으로 배치할수록 전체 신뢰도가 기하급수적으로 1에 가까워지는 특성을 갖습니다.
2. 부품 간 가동의 독립성 전제: 신뢰도 계산 과정에서 각 구성 요소의 고장 사상 및 성공 사상은 상호 독립적이어야 합니다. 즉, 한 부품의 고장이 인접한 부품의 고장 확률을 증가시키지 않는다는 통계적 독립성을 전제로 확률 연산을 적용합니다.
3. 소수점 처리 기준: 국가기술자격 실기 시험의 채점 표준에 의거하여, 문제 지문에서 특별한 소수점 가공 지침을 지시하지 않은 경우에는 최종 결과값에 대하여 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내거나, 신뢰도 문제의 특성상 정밀한 연산을 위해 소수점 다섯째 자리에서 반올림하여 소수 넷째 자리까지 최종 수치로 표기합니다. 백분율($\%$)로 답을 작성하는 경우에도 계산 과정의 소수점 변환 규칙을 주의하여 매칭합니다.

풀이 순서

1단계: 문제에 제시된 부품들의 결합 상태가 병렬 구조인지 확인하고, 각 부품의 개별 신뢰도($R_1, R_2, \dots$)를 정확히 파악합니다.
2단계: 각 부품이 가동에 실패할 확률인 개별 불신뢰도($1 – R_1, 1 – R_2, \dots$)를 각각 계산합니다.
3단계: 도출된 개별 불신뢰도 값들을 모두 곱하여 전체 시스템이 동시에 고장 날 확률(시스템 불신뢰도)을 구합니다.
4단계: 전체 확률인 1에서 구해진 시스템 불신뢰도 값을 차감하여 최종 시스템 신뢰도를 연산하고, 소수점 처리 기준에 맞게 정제하여 답안을 기재합니다. 만약 시스템 평균수명(MTTF)을 구하는 문제라면 병렬 수명 공식에 기초 수명을 대입하여 연산합니다.

예제 문제

문제 1

어느 중대재해 예방 제어 시스템에서 원격 방출 차단용 안전 밸브 2개가 병렬 구조로 결합되어 가동되고 있다. 각 안전 밸브의 가동 신뢰도가 각각 0.92, 0.96일 때, 비상 상황 시 이 안전 차단 시스템이 정상 가동될 전체 신뢰도와 가동에 실패할 확률(불신뢰도)을 각각 계산하시오. (단, 소수점 다섯째 자리에서 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내시오.)

문제 2

시스템의 신뢰도를 향상시키기 위해 동일한 성능을 가진 3개의 공정 흐름 제어 모듈을 병렬 구조로 결합하여 설계를 진행하였다. 개별 모듈의 정상 가동 신뢰도가 모두 0.82로 동일할 때, 이 병렬 제어 시스템의 전체 신뢰도를 계산하시오. (단, 소수점 다섯째 자리에서 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내시오.)

문제 3

어느 유해 화학물질 저장 용기의 내부 압력이 일정 기준치를 초과할 때 이를 감지하는 경보 센서 5개가 병렬로 설치되어 있다. 각 센서의 개별 신뢰도가 0.60일 때, 센서 시스템 전체의 가동 신뢰도를 백분율(%)로 계산하시오. (단, 최종 결과는 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

문제 4

화학 공장의 핵심 펌프 시스템에 동일 규격의 백업 부품 3개가 병렬 구조로 설계되어 가동되고 있다. 이 부품 1개의 평균 수명(MTTF)이 6,000시간이며 고장률이 지수분포를 따를 때, 이 병렬 시스템 전체의 평균 수명(MTTF)을 계산하시오.

문제 5

가스 누출 사고를 미연에 감시하기 위해 현장 순찰원과 가스 경보장치가 병렬 형태로 가동되고 있다. 순찰원이 감지 활동에 성공할 신뢰도는 0.90이고, 자동 가스 경보장치의 가동 신뢰도는 0.95이다. 이 인간-기계 병렬 감시 시스템 전체의 안전 신뢰도를 구하시오. (단, 소수점 다섯째 자리에서 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내시오.)

해설

해설 1

1. 시스템 가동 구조 분석

두 밸브가 병렬로 연결되어 있으므로 병렬 시스템 신뢰도 공식과 불신뢰도 공식을 적용합니다.
$R_p = 1 – (1 – R_1)(1 – R_2)$
$F_p = (1 – R_1)(1 – R_2)$

1. 수치 대입 및 연산

개별 신뢰도가 $R_1 = 0.92, R_2 = 0.96$이므로,

• 개별 불신뢰도:

$1 – 0.92 = 0.08$
$1 – 0.96 = 0.04$

• 시스템 실패확률(불신뢰도, $F_p$):

• 시스템 신뢰도($R_p$):

$R_p = 1 – 0.0032 = 0.9968$

정답: 신뢰도: 0.9968, 실패확률: 0.0032

해설 2

1. 시스템 가동 구조 분석

동일한 신뢰도를 가진 3개의 부품이 병렬 연결된 구조이므로 간소화 공식을 적용합니다.
$R_p = 1 – (1 – r)^n$

1. 수치 대입 및 연산

개별 신뢰도 $r = 0.82$, 부품 수 $n = 3$이므로,
$R_p = 1 – (1 – 0.82)^3$
$R_p = 1 – 0.18^3$
$R_p = 1 – 0.005832 = 0.994168$

1. 최종 수치 정제

지침에 따라 소수점 다섯째 자리인 6에서 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타냅니다.
$0.994168 \approx 0.9942$

정답: 0.9942

해설 3

1. 시스템 가동 구조 분석

동일한 신뢰도를 가진 5개의 센서가 병렬 결합 구조를 이루고 있으므로 병렬 연산 공식을 적용합니다.
$R_p = 1 – (1 – r)^n$

1. 수치 대입 및 연산

개별 신뢰도 $r = 0.60$, 부품 수 $n = 5$이므로,
$R_p = 1 – (1 – 0.60)^5$
$R_p = 1 – 0.40^5$
$R_p = 1 – 0.01024 = 0.98976$

1. 백분율 수치 정제

소수 형태의 신뢰도 값에 100을 곱하여 백분율 비율로 나타낸 뒤, 소수점 셋째 자리에서 반올림을 실시합니다.

소수점 셋째 자리인 6에서 반올림하여 둘째 자리로 나타내면 $98.98\%$가 됩니다.

정답: 98.98%

해설 4

1. 병렬 수명 공식 적용

병렬로 결합된 동일 지수분포 구성 부품들의 전체 시스템 수명 공식에 수치를 연쇄 대입합니다.

1. 수치 대입 및 계산

정답: 11,000시간

해설 5

1. 시스템 가동 구조 분석

인간인 순찰원의 가동 성공 확률과 경보장치가 병렬로 위험을 감시하므로 병렬 신뢰도 공식을 대입합니다.
$R_p = 1 – (1 – R_{\text{인간}})(1 – R_{\text{기계}})$

1. 수치 대입 및 계산

$R_{\text{인간}} = 0.90$, $R_{\text{기계}} = 0.95$이므로,
$R_p = 1 – (1 – 0.90)(1 – 0.95)$

$R_p = 1 – 0.0050 = 0.9950$

정답: 0.9950