필답 18. 시스템 신뢰도 계산 직·병렬 혼합 결합 및 다중 부품 조건 – 전체

설명

정의

시스템 신뢰도 계산에서 직·병렬 혼합 결합(Combined Series-Parallel Connection) 및 다중 부품 조건은 직렬 구조와 병렬 구조가 복합적으로 연계된 가동 체계를 분석하는 기법입니다. 산업안전 분야에서는 단일 고장으로 전체 공정이 마비되는 직렬식 구성과 백업 설비를 배치한 병렬식 구성이 함께 혼재되어 설비의 신뢰도를 설계하고 관리하게 됩니다. 이러한 다중 부품 조건 하에서 신뢰성 분석을 수행하여 공정의 잠재적 결함 위험성과 작동 신뢰도를 정량적으로 평가할 수 있습니다.

공식

직·병렬 혼합 시스템의 총 신뢰도를 구하는 핵심 수학적 수식은 다음과 같습니다.

1. 직렬 블록의 결합 신뢰도 공식:

직렬로 연결된 n개의 독립 부품 신뢰도($R_1, R_2, \dots, R_n$)에 대하여, 전체 직렬계의 신뢰도($R_s$)는 다음과 같이 곱셈으로 정의됩니다.

1. 병렬 블록의 결합 신뢰도 공식:

병렬로 연결된 n개의 독립 부품 신뢰도($R_1, R_2, \dots, R_n$)에 대하여, 전체 병렬계의 신뢰도($R_p$)는 다음과 같습니다.
$R_p = 1 – (1 – R_1)(1 – R_2) \dots (1 – R_n) = 1 – \prod_{i=1}^{n} (1 – R_i)$

1. 직·병렬 혼합 시스템의 신뢰도 공식:

혼합 결합의 신뢰도($R_{mixed}$)는 각 병렬 블록을 하나의 등가 단일 부품으로 간소화(Reduction)한 뒤, 직렬로 통합 곱 연산을 진행하여 산출합니다.

1. 시스템 실패확률 공식:

전체 시스템이 가동에 실패할 확률(불신뢰도, $F_s$)은 전체 확률인 1에서 통합 신뢰도를 차감한 값입니다.
$F_s = 1 – R_{mixed}$

적용 조건

1. 통계적 독립성의 전제: 각 개별 부품이나 장치의 가동 사상과 고장 사상은 서로 독립적이어야 하며, 하나의 고장이 다른 인접 장치의 고장 확률에 인과적인 전이를 일으키지 않는다는 전제 하에 교집합 확률 연산(곱셈 정리)을 적용합니다.
2. 간소화(Block Reduction) 원칙: 복잡한 대형 설비 회로망을 해석할 때에는 안쪽의 병렬 블록들을 등가 신뢰도로 먼저 환산하여 단일 가상의 직렬 부품 형태로 축소 정돈해 나가며 풀이를 전개해야 연산 오차가 발생하지 않습니다.
3. 수치 마감 처리 기준: 문제 지문에서 특별한 소수점 가공 지침을 주지 않은 통상적인 실기 시험 채점 표준에 의거하여, 계산 과정에서 구해지는 개별 블록의 신뢰도 값은 소수점 셋째 자리나 넷째 자리에서 반올림을 수행하며, 최종 종합 신뢰도 결과 수치는 소수점 셋째 자리에서 반올림을 거쳐 소수 둘째 자리까지 명확하게 작성합니다. 만약 백분율(%) 표기를 지시한 경우에는 최종 소수 값에 100을 곱한 수치 뒤에 퍼센트 기호를 동반하여 기재합니다.

풀이 순서

1 단계: 문제에서 제시된 시스템 블록 다이어그램이나 텍스트 작동 흐름을 분석하여 부품들의 세부 결합 상태(직렬인지 병렬인지)를 정확히 판별합니다.
2 단계: 다중 부품이 포함된 내부 병렬 블록들의 신뢰도($R_p$)를 각각 먼저 산출합니다. 이때 병렬 지류 안에 여러 부품이 직렬로 묶여 있는 복합형 상태라면 지류 안의 직렬 값을 곱해 준 후 최종 병렬 공식에 대입합니다.
3 단계: 산출해 둔 병렬 블록들의 신뢰도 값과 단독으로 배치된 직렬 부품들의 신뢰도 값을 직렬 공식을 토대로 연쇄적으로 곱해 주어 시스템의 전체 신뢰도를 계산합니다.
4 단계: 만약 시스템 고장확률(실패확률)을 요구하는 문제라면 최종 신뢰도 값을 1에서 차감하여 산출하며, 반올림 소수점 가공 규칙을 준수하여 답안을 완성합니다.

예제 문제

문제 1

병렬로 연결된 두 구성요소의 신뢰도는 각각 r이고, 이들과 직렬로 연결된 다른 핵심 제어 부품의 신뢰도는 M이다. 이 직·병렬 시스템 전체의 가동 신뢰도를 수식으로 나타내고, r의 신뢰도가 0.85이고 M의 신뢰도가 0.90일 때의 구체적인 시스템 신뢰도 값을 계산하시오. (단, 최종 결과는 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

문제 2

화학물질 이송 펌프 라인의 안전 제어반을 구성하는 4개의 부품 A, B, C, D의 신뢰도가 모두 r로 동일하다. 이 중 부품 A와 C는 서로 병렬 결합을 이루고 있으며, 부품 B와 D 역시 또 다른 병렬 결합을 이루고 있다. 이 두 병렬 블록이 최종적으로 직렬 결합을 형성하고 있을 때, 시스템의 신뢰도 수식을 r을 사용한 식으로 유도하고 r이 0.90일 때의 시스템 신뢰도를 산출하시오. (단, 소수점 다섯째 자리에서 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내시오.)

문제 3

어느 가스 플랜트 설비에서 비상 가스 차단용 밸브 시스템이 가동되고 있다. 이 시스템은 신뢰도가 96%인 주 제어 펌프 A가 작동을 개시하면, 각각 신뢰도 88%인 보조 밸브 B와 C의 병렬 구조계가 연쇄적으로 연동하여 개폐를 제어하는 직·병렬 혼합 구조를 취하고 있다. 이 제어 장치 시스템 전체가 비상 작동에 실패할 확률(불신뢰도)을 구하시오. (단, 소수점 다섯째 자리에서 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내시오.)

문제 4

공장 자동 제어 시스템의 핵심 연산 회로망을 구성하는 부품들의 신뢰도가 다음과 같다. 이 시스템은 단독 부품 2개가 순차적으로 작동하고, 이후 위험을 이중으로 분산시키기 위해 배치된 병렬 제어 블록 2개가 연쇄적으로 연결된 혼합 직렬 구조를 지닌다. 주어진 설계 조건을 바탕으로 제어 회로망 시스템의 전체 통합 신뢰도를 구하시오. (단, 계산 과정 및 최종 결과는 소수점 다섯째 자리에서 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내시오.)

• 단독 직렬 부품 1의 신뢰도: 0.85
• 단독 직렬 부품 2의 신뢰도: 0.92
• 병렬 제어 블록 1: 부품 3(신뢰도 0.70)과 부품 4(신뢰도 0.80)의 병렬 결합
• 병렬 제어 블록 2: 부품 5(신뢰도 0.75)과 부품 6(신뢰도 0.85)의 병렬 결합

문제 5

어느 항공기 엔진 제어용 다중 회로 시스템의 설계 신뢰도를 분석하고자 한다. 시스템은 입력단 부품 A(신뢰도 0.80)를 거쳐 가동 전력이 병렬 구조의 블록으로 흐르고, 최종 출력단 부품 G(신뢰도 0.80)로 전달되는 직·병렬 결합 관계이다. 병렬 블록 내부에는 다음과 같이 3개의 지류가 중복 분산되어 있다. 시스템 전체의 정상 가동 신뢰도를 구하시오. (단, 소수점 다섯째 자리에서 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내시오.)

• 제1지류(상부): 부품 B(신뢰도 0.85)와 부품 D(신뢰도 0.85)가 직렬로 연결됨
• 제2지류(중앙): 단독 부품 F(신뢰도 0.92)로 구성됨
• 제3지류(하부): 부품 C(신뢰도 0.85)와 부품 E(신뢰도 0.85)가 직렬로 연결됨

해설

해설 1

1. 시스템 신뢰도 수식 유도

병렬로 결합된 두 구성요소(신뢰도 r)의 병렬 결합 신뢰도($R_p$)는 다음과 같습니다.
$R_p = 1 – (1 – r)(1 – r) = 2r – r^2$
여기에 핵심 제어 부품(신뢰도 M)이 직렬로 결합되어 있으므로, 전체 시스템 신뢰도($R_s$)는 직렬 곱 공식을 따릅니다.

1. 수치 대입 및 연산

주어진 신뢰도 $r = 0.85, M = 0.90$을 대입합니다.

1. 최종 수치 정제

소수점 셋째 자리인 9에서 반올림하여 정리합니다.
$R_s \approx 0.88$

정답: 수식: $M(2r – r^2)$, 신뢰도 값: 0.88

해설 2

1. 시스템 신뢰도 수식 유도

• 첫 번째 병렬 블록 {A, C}의 신뢰도($R_{p1}$):

$R_{p1} = 1 – (1 – Ra)(1 – Rc) = 1 – (1 – r)^2 = 2r – r^2$

• 두 번째 병렬 블록 {B, D}의 신뢰도($R_{p2}$):

$R_{p2} = 1 – (1 – Rb)(1 – Rd) = 1 – (1 – r)^2 = 2r – r^2$

• 전체 혼합 시스템의 신뢰도($R_s$)는 두 병렬 블록이 직렬 결합을 이루고 있으므로 곱 연산을 적용합니다.

1. 수치 대입 및 연산

주어진 신뢰도 $r = 0.90$을 대입합니다.
$R_{p1} = 1 – (1 – 0.90)^2 = 1 – 0.10^2 = 1 – 0.01 = 0.99$

정답: 수식: $r^2(2 – r)^2$, 신뢰도 값: 0.9801

해설 3

1. 등가 가동 신뢰도($R_s$) 계산

• 보조 밸브 B와 C의 병렬 결합 부위 신뢰도($R_p$):

$R_p = 1 – (1 – 0.88)(1 – 0.88) = 1 – 0.12^2 = 1 – 0.0144 = 0.9856$

• 시스템 전체의 신뢰도($R_s$)는 주 제어 펌프 A(0.96)와 병렬 보조 밸브계가 직렬이므로 두 값을 곱합니다.

1. 작동 실패확률(불신뢰도, $F_s$) 산출

시스템의 가동 실패확률은 전체 확률 1에서 구한 가동 신뢰도 $R_s$를 뺍니다.
$F_s = 1 – R_s = 1 – 0.946176 = 0.053824$

1. 최종 수치 정제

소수점 다섯째 자리인 2에서 버림 반올림되어 소수 넷째 자리로 정제됩니다.
$F_s \approx 0.0538$ (또는 $5.38\%$)

정답: 0.0538 (또는 5.38%)

해설 4

1. 병렬 제어 블록들의 개별 신뢰도 계산

• 병렬 제어 블록 1의 신뢰도($R_{p1}$):

• 병렬 제어 블록 2의 신뢰도($R_{p2}$):

1. 전체 통합 시스템 신뢰도($R_s$) 산출

단독 부품들의 신뢰도와 앞서 구한 두 병렬 블록의 등가 신뢰도가 모두 순차적으로 직렬 연결되어 있으므로 모두 곱해 줍니다.

1. 최종 수치 정제

소수점 다섯째 자리인 1에서 버림 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타냅니다.
$R_s \approx 0.7075$

정답: 0.7075

해설 5

1. 병렬 블록 내부의 지류별 등가 신뢰도 분석

• 제1지류(상부 직렬 회로):

• 제2지류(중앙 단독 부품):

$R_{br2} = 0.9200$

• 제3지류(하부 직렬 회로):

1. 다중 병렬 블록의 총 신뢰도($R_p$) 계산

세 지류가 병렬로 작동하므로 병렬 공식에 대입하여 산출합니다.
$R_p = 1 – (1 – R_{br1})(1 – R_{br2})(1 – R_{br3})$
$R_p = 1 – (1 – 0.7225)(1 – 0.9200)(1 – 0.7225)$

1. 전체 시스템 신뢰도($R_s$) 계산

입력단 A(0.80), 등가 병렬 블록($R_p$), 출력단 G(0.80)가 전형적인 직렬 관계를 형성하고 있으므로 곱 연산을 적용합니다.

1. 최종 수치 정제

소수점 다섯째 자리인 5에서 반올림을 수행하여 소수 넷째 자리까지 명시합니다.
$R_s \approx 0.6361$

정답: 0.6361