필답 19. 시스템 수명 지표 계산 – 전체

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설명

정의

시스템 수명 지표는 가동을 시작한 설비나 부품이 고장 없이 작동하는 신뢰성 수준과, 고장이 발생했을 때 이를 수리하여 다시 정상 가동 상태로 복구시키는 보전성 수준을 정량적으로 평가하기 위한 지표들입니다. 수리가 불가능한 소모성 부품의 수명을 나타내는 평균고장시간($MTTF$), 수리가 가능한 설비의 가동 수명 간격을 나타내는 평균고장간격($MTBF$), 고장 발생 시 수리에 소요되는 평균수리시간($MTTR$), 그리고 전체 가동 계획 시간 중에서 설비가 실제로 작동 가능한 시간의 비율인 가용도($Availability, A$) 등이 이에 해당합니다.

공식

고장률 ($\lambda$) 산출 공식:

\lambda = \frac{\text{고장건수}}{\text{총 가동시간}} = \frac{\text{고장건수}}{\text{가동 부품 수} \times \text{개별 가동시간}}

우발고장 기간의 고장률이 일정한 지수분포 수명 모델에서, 특정 작동 시간 동안 유지되는 신뢰도($R(t)$)로부터 역산하는 고장률 공식은 다음과 같습니다.

\lambda = -\frac{\ln R(t)}{t}

평균고장시간 (MTTF, Mean Time To Failure) 공식:

수리가 불가능한 부품이 고장에 도달할 때까지 걸리는 평균 시간입니다.

MTTF = \frac{1}{\lambda}

평균수리시간 (MTTR, Mean Time To Repair) 공식:

고장 발생 시점부터 복구 수리가 완정 완료되어 정상 조업에 돌입하기까지 소요된 평균 시간입니다.

MTTR = \frac{\text{총 고장수리시간}}{\text{고장횟수}}

평균고장간격 (MTBF, Mean Time Between Failures) 공식:

수리가 가능한 시스템에서 고장과 고장 사이의 평균 시간 간격(작동 수명)을 의미합니다.
$MTBF = MTTF + MTTR$

설비의 총 가동 이력을 바탕으로 한 수리계 가동 기준의 식은 다음과 같이 간소화하여 동일하게 도출됩니다.

MTBF = \frac{\text{총 가동시간} – \text{총 고장수리시간}}{\text{고장횟수}} + MTTR = \frac{\text{총 가동시간}}{\text{고장횟수}}

가용도 (Availability, A) 공식:

시스템이 기한 내에 유효하게 가동되고 있는 기댓값의 비율입니다.

A = \frac{MTTF}{MTTF + MTTR} = \frac{MTBF – MTTR}{MTBF}

적용 조건

수리 복구 가능성 기준: 수리가 불가능하여 폐기 처분하는 반도체, 전구, 일회용 밸브 등의 부품에는 고장률의 역수인 $MTTF$를 적용하여 수명을 한정하고, 고장 시 분해 수리나 부품 교환 등을 거쳐 지속적으로 재가동하는 기계 모듈이나 고가 장비 체계에는 $MTBF$를 적용합니다.

2. 우발고장 분포 조건: 고장률이 시간에 따라 일정한 안정 구간(욕조곡선의 우발고장 영역)을 전제로 합니다. 이 기간의 고장 수명 분포는 지수분포를 따르므로 신뢰도 식 $R(t) = e^{-\lambda t}$ 및

MTTF = \frac{1}{\lambda}

의 반비례 공식이 엄격하게 성립합니다.

소수점 연산 정제 표준: 국가기술자격 주관식 실기 시험의 채점 표준에 의거하여, 문제 본문에 별도의 명시적 제한 조건이 없는 경우 최종 계산 수치와 중간 가동 지표들은 소수점 셋째 자리에서 반올림을 거쳐 소수 둘째 자리까지 나타냅니다. 단, 고장률($\lambda$)과 같이 소수 이하의 자릿수가 길어지는 무한소수 형태의 특수한 확률 값은 유효숫자가 충분히 보존되도록 지수 표기법(예: $2.11 \times 10^{-5}$)을 준수하여 기재합니다.

풀이 순서

1단계: 주어진 지문으로부터 분석 대상 부품의 수, 총 평가 시간, 고장 횟수 및 개별 수리시간 데이터를 확인하여 수치적으로 정리합니다.
2단계: 가동 부품들의 총 가동 누적 시간과 고장 건수의 비례 관계를 통하여 고장률($\lambda$)을 먼저 산출하고, 수리가 불가능한 조건의 수명 지표인 $MTTF$를 계산합니다.
3단계: 전체 수리에 소요된 누적 고장수리시간의 총합을 구하고, 이를 전체 고장 횟수로 나누어 개당 평균수리시간($MTTR$)을 도출합니다.
4단계: 도출된 평균 수명 지표들을 종합하여 $MTBF$ 및 설비 종합 가용도($A$) 공식에 대입하여 최종 연산한 뒤, 소수점 처리 수칙을 반영해 최종 답안으로 확정합니다.

예제 문제

문제 1

동일한 종류의 정밀 차단 밸브 부품 2,000개를 대상으로 고온 가동 조건 하에서 50,000시간 동안 작동 신뢰성 시험을 실시하였다. 가동 기간 중 총 10개의 불량 제품(고장)이 발생하였을 때, 이 부품의 평균고장시간(MTTF)을 계산하시오.

문제 2

어느 화학 공정에 설치된 가스 순환 압축 설비의 평균수리시간(MTTR)은 4시간으로 나타났다. 이 설비가 가동 계획 시간 동안 고장 없이 작동 가능한 실질 가동 비율을 의미하는 가용도(Availability)가 0.95로 유지되고 있을 때, 이 압축 설비의 평균고장간격(MTBF)을 구하시오.

문제 3

특정 가공 라인에 배치된 대형 제어 기계를 24시간 동안 연속 기동하며 모니터링을 진행하였다. 이 가동 기간 동안 기계 장치에 총 5회의 불량 고장 사태가 발생하여 조업이 일시 중단되었으며, 각 고장당 수리 복구 작업에 소요된 상세 시간은 다음과 같다. 이 기계의 평균수리시간(MTTR)과 평균고장간격(MTBF)을 각각 계산하시오.

1회 고장 수리시간: 0.2시간
2회 고장 수리시간: 0.4시간
3회 고장 수리시간: 0.5시간
4회 고장 수리시간: 0.3시간
5회 고장 수리시간: 0.6시간

문제 4

자동차 조립 라인에서 구동되는 로봇 관절 기어의 수명이 지수분포를 따르고 있다. 이 부품의 가동 신뢰도를 90% 수준으로 안전하게 유지하면서 5,000시간 동안 연속 가동하고자 할 때, 이 가동 조건을 만족시키기 위해 도출되는 적합한 고장률을 계산하시오. (단, 로그 연산 결과값은 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 대입하여 구하시오.)

문제 5

설비의 신뢰성 공학에서 부품의 사용 수명 주기에 따라 고장률의 변화 추이를 분석하는 수명곡선(욕조곡선, Bathtub Curve) 모델의 3가지 고장 구간을 쓰고, 각 구간에서의 고장률 형태 특징과 고장 원인을 선제적으로 통제하기 위한 예방 대책을 기술하시오.

해설

해설 1

총 가동 누적 시간 계산

\text{총 가동시간} = 2,000\text{개} \times 50,000\text{시간} = 100,000,000\text{시간} = 10^8\text{시간}

고장률 ($\lambda$) 계산

\lambda = \frac{10}{10^8} = 1 \times 10^{-7}\text{시간}^{-1}

평균고장시간 (MTTF) 계산

MTTF = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{1 \times 10^{-7}} = 10,000,000\text{시간} = 1 \times 10^7\text{시간}

정답: $1 \times 10^7\text{시간}$ (또는 $10,000,000\text{시간}$)

해설 2

가용도 공식을 통한 수식 유도

가용도($A$)와 $MTBF, MTTR$의 관계식에 수치를 대입합니다.

A = \frac{MTBF}{MTBF + MTTR}

0.95 = \frac{MTBF}{MTBF + 4}

미지수 $MTBF$ 산출 계산

0.95 \times (MTBF + 4) = MTBF

0.95 \times MTBF + 3.8 = MTBF

$0.05 \times MTBF = 3.8$

MTBF = \frac{3.8}{0.05} = 76\text{시간}

정답: $76\text{시간}$

해설 3

총 고장수리시간 및 평균수리시간 (MTTR) 계산

총 고장수리시간:

$0.2 + 0.4 + 0.5 + 0.3 + 0.6 = 2.0\text{시간}$

$MTTR$ 계산:

MTTR = \frac{2.0\text{시간}}{5\text{회}} = 0.40\text{시간/회}

순수 가동 수명 및 평균고장간격 (MTBF) 계산

순수한 가동 시간(수리 시간 제외):

$\text{순수 가동시간} = \text{총 가동시간} – \text{총 수리시간} = 24 – 2.0 = 22.0\text{시간}$

평균동작시간($MTTF$):

MTTF = \frac{22.0\text{시간}}{5\text{회}} = 4.40\text{시간/회}

$MTBF$ 산출:

$MTBF = MTTF + MTTR = 4.40 + 0.40 = 4.80\text{시간/회}$

(직접

MTBF = \frac{\text{총 가동시간}}{\text{고장횟수}} = \frac{24}{5} = 4.80\text{시간/회}

공식을 활용하여도 계산 결과는 완전히 일치합니다.)

정답: $MTTR$: 0.40시간, $MTBF$: 4.80시간

해설 4

신뢰도 수식의 설정 및 로그 치환

지수분포의 신뢰도 수식에 주어지 시간 $t = 5,000$시간과 신뢰도 $R(t) = 0.90$을 대입합니다.
$R(t) = e^{-\lambda t}$

0.90 = e^{-\lambda \times 5,000}

양변에 자연로그($\ln$)를 적용하여 정리합니다.

\ln(0.90) = -\lambda \times 5,000

-0.11 = -\lambda \times 5,000

(자연로그 계산값 $\ln(0.90) \approx -0.1054$를 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리 수치인 $-0.11$을 대입합니다.)

고장률 ($\lambda$) 도출

\lambda = \frac{-0.11}{-5,000} = 2.2 \times 10^{-5}\text{시간}^{-1}

(만약 자연로그 계산 과정을 반올림 없이 정밀 연산식으로 끝까지 취할 경우의 상세 수치는 다음과 같습니다.

\lambda = \frac{0.10536}{5,000} = 2.11 \times 10^{-5}\text{시간}^{-1}

시험 지문의 단서 조항에 소수 둘째 자리 대입을 요구하였으므로 반올림된 수치인 $2.2 \times 10^{-5}$을 적용해 가공합니다.)

정답:

2.2 \times 10^{-5}/\text{시간}

(또는 $2.2 \times 10^{-5}\text{시간}^{-1}$)

해설 5

초기고장 기간 (Early Failure Period)

고장률 형태: 감소형 ($DFR$, Decreasing Failure Rate)
고장 원인: 설계 결함, 부품 가공 불량, 제조 불량, 부적절한 원재료 사용 등 제조 및 품질관리 미비
예방 대책: 모의 기동 및 에이징 테스트인 번인(Burn-in) 기법 또는 디버깅(Debugging) 공정을 통해 조기에 결함을 강제로 작동시켜 선별 제거합니다.

우발고장 기간 (Chance Failure Period)

고장률 형태: 일정형 ($CFR$, Constant Failure Rate)
고장 원인: 인간의 조작 실수, 예기치 못한 과부하, 이상 환경 충격, 통제 범위를 벗어난 우발적 요인
예방 대책: 우발 고장은 고장률이 무작위로 일정하게 유지되므로 기계적 안전율을 높이는 적절한 설계 배치(디레이팅, Derating 기술)나 여분의 중복도를 늘리는 병렬 설계를 적용하여 조치합니다.

마모고장 기간 (Wear-out Failure Period)

고장률 형태: 증가형 ($IFR$, Increasing Failure Rate)
고장 원인: 설비 부품의 노화, 피로 누적, 화학적 산화, 마모, 기계적 열화 등의 장기 가동적 수명 한계 도달
예방 대책: 부품 고장 및 파손이 일어나기 직전 일정한 주기로 분해 청소, 오버홀, 주유 및 예비 부품 교체 등의 일상적인 예방 보전(PM, Preventive Maintenance) 활동을 철저히 실시합니다.

정답: 위 설명 참조

📊 다음 테마인 ‘필답 20. 인간 신뢰도 및 작업 오류 발생 확률 계산’에 대해서도 이처럼 명확한 수식 보존과 불필요한 인용 기호를 완벽히 제거한 교재 수록용 레이아웃으로 정리하여 작성해 드릴까요?

필답 19. 시스템 수명 지표 계산

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