필답 37. 도체구 전위 및 대전 전압 계산 – 전체

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설명

정의

도체구 전위 및 대전 전압 계산은 정전기 대전 현상으로 인해 구형 도체(도체구)에 전하가 축적되었을 때 발생할 수 있는 전위(전압)의 크기를 정량적으로 계산하는 분석 기법입니다.

산업안전 분야에서 이 계산은 설비나 작업자에게 축적된 정전기 전하량에 따른 전위를 예측하여 정전기 방전 스파크에 의한 감전 사고, 화재, 폭발 재해를 사전에 판정하고 적절한 접지 및 방전 대책을 설계하는 데 유용하게 활용됩니다.

공식

도체구 전위($V$) 계산 공식 (유전율 활용):

구형 도체의 반지름이 $r$이고, 대전 전하량이 $Q$일 때 도체구 표면의 전위($V$)는 다음과 같습니다.

V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r} \text{ (V)}

도체구 전위($V$) 계산 공식 (쿨롱 상수 활용):

진공 중의 유전율(

\epsilon_0 \approx 8.855 \times 10^{-12} \text{ F/m}

)을 반영한 쿨롱 상수($k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \times 10^9$)를 사용하여 공식을 간소화하면 다음과 같습니다.

V = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{r} \text{ (V)}

여기서 사용되는 각 변수의 정의와 단위는 다음과 같습니다.

$V$: 도체구 표면의 전위 (단위: $\text{V}$)
$Q$: 도체구에 대전된 전하량 (단위: $\text{C}$)
$r$: 도체구의 반지름 (단위: $\text{m}$)

고립 도체구의 정전용량($C$) 계산 공식:

도체구가 정전하를 축적할 수 있는 능력인 정전용량($C$)은 반지름($r$)에 비례하며 다음과 같이 정의됩니다.

C = 4\pi\epsilon_0 r = \frac{r}{9 \times 10^9} \text{ (F)}

대전전하량($Q$), 정전용량($C$), 대전전위($V$)의 관계 공식:

Q = C \times V \text{ (C)}

용량분할을 통한 대전물체의 표면전위($V_s$) 산출 공식:

대전물체의 표면전위를 검출전극을 통해 측정하는 경우의 관계식입니다.

V_s = V_e \times \frac{C_1 + C_2}{C_1} \text{ (V)}

여기서 사용되는 각 변수의 정의와 단위는 다음과 같습니다.

$V_s$: 대전물체의 실제 표면전위 (단위: $\text{V}$)
$V_e$: 검출전극에 가해진 검출 전위 (단위: $\text{V}$)
$C_1$: 대전물체와 검출전극 간의 상호 정전용량 (단위: $\text{F}$)
$C_2$: 검출전극과 대지 간의 정전용량 (단위: $\text{F}$)

적용 조건

단위계의 정합성 일치:

반지름($r$)은 공식에 대입하기 전에 반드시 센티미터($\text{cm}$)나 킬로미터($\text{km}$) 단위를 기본 미터($\text{m}$) 단위로 일치시켜야 정전기학적 단위 오류가 발생하지 않습니다.
전하량 또한 마이크로쿨롱($\mu\text{C}$), 나노쿨롱($\text{nC}$), 피코패럿($\text{pF}$) 등이 혼재되어 주어지므로 지수 표기법($10^{-6}, 10^{-9}, 10^{-12}$)을 적용해 표준 단위계($\text{C, F}$)로 먼저 보정합니다.

이상적인 고립 도체 조건:

주위에 다른 도체나 대지 등이 없어 정전기 유도 작용의 간섭을 받지 않는 공간에 홀로 놓여 있는 고립 도체구를 기준으로 물리 법칙을 상정합니다.

소수점 마감 처리:

주관식 자격증 채점 기준에 의거하여 별도의 지시 사항이 없으면 계산 과정과 최종 도출 결과는 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 명확하게 적고 단위를 표기합니다.

풀이 순서

1단계: 문제에서 주어진 변수(전하량 $Q$, 반지름 $r$ 혹은 정전용량 $C$ 등)를 분류하고, 단위를 미터($\text{m}$)와 쿨롱($\text{C}$), 패럿($\text{F}$)으로 변환하여 정리합니다.

2단계: 도체구의 전위 공식을 구하는 조건인 경우 기본 식

V = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{r}

를 설정합니다.

3단계: 공식에 준비된 수치들을 대입하여 사칙연산을 수행하고, 곱하거나 나누는 과정을 정밀하게 처리합니다.
4단계: 문제에서 최종 요구한 전위 단위가 킬로볼트($\text{kV}$)인지 볼트($\text{V}$)인지 다시 한 번 확인하여 단위를 환산하고 반올림하여 답안을 작성합니다.

예제 문제

문제 1

공기 중에 놓여 있는 구형 도체가 전하량

Q = 3.5 \times 10^{-7} \text{ C}

으로 대전되어 있다. 이 도체구의 반지름이 $30 \text{ cm}$일 때, 도체구 표면의 전위는 몇 $\text{kV}$ 인지 계산하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

문제 2

어느 고립 도체구에 $2.4 \mu\text{C}$의 정전하가 축적되어 대전 전압(전위)이 $120 \text{ kV}$가 되었다. 이 도체구의 전체 지름(Diameter, $\text{cm}$)을 구하시오.

문제 3

지구를 반지름 $6,400 \text{ km}$인 고립 구형 도체라고 가정하자. 이 지구 표면에 $2 \text{ C}$의 전하가 균일하게 대전되었을 때, 지구 표면의 대전 전위는 몇 $\text{V}$ 인지 계산하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

문제 4

정전용량이 $40 \text{ pF}$인 고립 도체구에 고압 정전압 $15 \text{ kV}$를 인가하여 전하를 충전시켰다. 이 도체구에 축적되는 총 대전 전하량은 몇 $\mu\text{C}$ 인지 구하시오.

문제 5

대전물체의 표면 전위를 검출전극에 의한 용량분할을 통해 측정하고자 한다. 측정 시 대전물체와 검출전극 간의 정전용량 $C_1 = 15 \text{ pF}$이고, 검출전극과 대지 간의 정전용량 $C_2 = 45 \text{ pF}$이다. 검출전극의 지시 전위 Ve가 $180 \text{ V}$로 측정되었을 때, 대전물체의 실제 표면전위 $Vs(\text{V})$를 계산하시오.

해설

해설 1

문제 조건 및 단위 환산:

* 대전 전하량

Q = 3.5 \times 10^{-7} \text{ C}

반지름 $r = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$

도체구 전위($V$) 공식 적용 및 연산:

쿨롱 상수를 활용한 간소화 공식을 대입합니다.

V = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{r}

V = 9 \times 10^9 \times \frac{3.5 \times 10^{-7}}{0.3}

V = 9 \times 10^9 \times (1.166667 \times 10^{-6}) = 10,500 \text{ V}

단위 환산 및 최종 정제:

구한 전위 $10,500 \text{ V}$를 킬로볼트($\text{kV}$) 단위로 환산합니다.

V = \frac{10,500}{1,000} = 10.5 \text{ kV}

(또는 $10.50 \text{ kV}$)

정답: $10.50 \text{ kV}$ (또는 $10.5 \text{ kV}$)

해설 2

문제 조건 및 단위 환산:

* 대전 전하량

Q = 2.4 \mu\text{C} = 2.4 \times 10^{-6} \text{ C}

전위 $V = 120 \text{ kV} = 120,000 \text{ V}$

도체구의 반지름($r$) 역산:

V = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{r}

공식을 전개하여 반지름 $r$을 도출합니다.

120,000 = 9 \times 10^9 \times \frac{2.4 \times 10^{-6}}{r}

120,000 = \frac{21,600}{r}

r = \frac{21,600}{120,000} = 0.18 \text{ m}

이를 센티미터 단위로 환산하면,

r = 0.18 \text{ m} \times 100\text{ cm/m} = 18 \text{ cm}

입니다.

도체구의 지름($d$) 계산:

문제에서 요구한 것은 반지름이 아닌 ‘전체 지름’이므로 2배를 곱해줍니다.

\text{지름}(d) = 2 \times r = 2 \times 18 \text{ cm} = 36 \text{ cm}

정답: $36 \text{ cm}$ (또는 $36$)

해설 3

지구의 단위 변환 및 조건 확인:

* 지구 반지름

r = 6,400 \text{ km} = 6,400,000 \text{ m} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}

대전 전하량 $Q = 2 \text{ C}$

지구 표면의 전위($V$) 계산:

고립 지구도체 표면의 전위 공식을 대입합니다.

V = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{r}

V = 9 \times 10^9 \times \frac{2}{6.4 \times 10^6}

V = \frac{18 \times 10^9}{6.4 \times 10^6} = \frac{18,000}{6.4} = 2,812.5 \text{ V}

소수점 정리:

소수점 셋째 자리가 0이므로 소수 둘째 자리 규격에 맞춰 정리합니다.
$V = 2,812.50 \text{ V}$

정답: $2,812.50 \text{ V}$ (또는 $2,812.5 \text{ V}$)

해설 4

문제 조건 및 단위 환산:

* 정전용량

C = 40 \text{ pF} = 40 \times 10^{-12} \text{ F}

대전전압 $V = 15 \text{ kV} = 15,000 \text{ V}$

대전 전하량($Q$) 계산:

전하량의 기본 공식 $Q = C \times V$에 수치를 대입합니다.

Q = (40 \times 10^{-12} \text{ F}) \times (15,000 \text{ V})

Q = 6 \times 10^{-7} \text{ C}

단위 환산 및 최종 정제:

구하고자 하는 단위가 마이크로쿨롱($\mu\text{C}$, $10^{-6} \text{ C}$)이므로 자릿수를 맞추어 변환합니다.

Q = 6 \times 10^{-7} \text{ C} = 0.6 \times 10^{-6} \text{ C} = 0.6 \mu\text{C}

(또는 $0.60 \mu\text{C}$)

정답: $0.60 \mu\text{C}$ (또는 $0.6 \mu\text{C}$)

해설 5

문제 조건 확인:

검출전극 측정 전위 $V_e = 180 \text{ V}$
상호 정전용량 $C_1 = 15 \text{ pF}$
대지 간 정전용량 $C_2 = 45 \text{ pF}$

대전물체 표면전위($V_s$) 공식 적용 및 연산:

용량분할 검출 원리 관계식을 전개합니다.

V_s = V_e \times \frac{C_1 + C_2}{C_1}

V_s = 180 \times \frac{15 + 45}{15}

V_s = 180 \times \frac{60}{15}

V_s = 180 \times 4 = 720 \text{ V}

정답: $720 \text{ V}$ (또는 $720$)

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필답 37. 도체구 전위 및 대전 전압 계산

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