필답 42. 르샤틀리에 공식을 이용한 혼합가스 폭발범위 계산 – 전체

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설명

정의

르샤틀리에 공식(Le Chatelier’s Equation)은 둘 이상의 가연성 가스가 혼합되어 있는 혼합가스(Gas Mixture)의 폭발범위(폭발하한계 및 폭발상한계)를 정량적으로 추산하는 물리화학적 법칙입니다. 이 법칙은 각 성분 가스가 혼합가스 내에서 연소성에 미치는 영향이 독립적이고 상호 가산적이라는 가정 하에 가연성 가스 분자 간의 연소 에너지 균형 관계를 바탕으로 혼합가스의 실질 위험도를 평가하는 데 매우 유용한 설계 지표로 사용됩니다.

공식

혼합 가스의 총 체적(부피)을 $100\%$로 기준할 때, 각 성분 가스의 폭발 한계치와 조성 비율(체적비)의 관계는 다음과 같습니다.

혼합가스의 폭발하한계 ($LEL_m$) 계산 공식:

LEL_m = \frac{100}{\sum_{i=1}^{n} \frac{V_i}{LEL_i}} = \frac{100}{\frac{V_1}{LEL_1} + \frac{V_2}{LEL_2} + \dots + \frac{V_n}{LEL_n}} \text{ (vol\%)}

여기서 사용되는 각 변수와 단위의 정의는 다음과 같습니다.

$LEL_m$: 혼합가스 전체의 폭발하한계 (단위: $\text{vol\%}$)
$V_i$: 혼합가스 내 공기 및 불활성 가스를 제외한 가연성 가스 성분 $i$의 체적 백분율 (단위: $\%$, 단 가연성 성분만의 합 $\sum V_i = 100\%$ 기준)
$LEL_i$: 각 가연성 가스 성분 $i$의 고유한 단독 폭발하한계 (단위: $\text{vol\%}$)

혼합가스의 폭발상한계 ($UEL_m$) 계산 공식:

UEL_m = \frac{100}{\sum_{i=1}^{n} \frac{V_i}{UEL_i}} = \frac{100}{\frac{V_1}{UEL_1} + \frac{V_2}{UEL_2} + \dots + \frac{V_n}{UEL_n}} \text{ (vol\%)}

여기서 사용되는 각 변수와 단위의 정의는 다음과 같습니다.

$UEL_m$: 혼합가스 전체의 폭발상한계 (단위: $\text{vol\%}$)
$UEL_i$: 각 가연성 가스 성분 $i$의 고유한 단독 폭발상한계 (단위: $\text{vol\%}$)

적용 조건

가연성 성분의 분율 기준 보정:

혼합가스의 농도 식에서 분자에 $100$을 대입하는 것은 공기나 불활성 가스 성분을 제외한 순수 가연성 가스 성분들의 체적 합이 $100\%$가 되도록 환산한 조건입니다.
만약 문제 지문에서 질소, 이산화탄소 등의 불활성 가스나 공기 성분이 포함된 전체 체적비가 주어졌다면 다음과 같은 두 가지 풀이 방식이 존재합니다.
방식 A (공기를 제외하고 계산): 공기나 불활성 가스 등의 비연소성 가스를 전량 배제하고, 순수 가연성 성분 가스들의 합만을 분모와 분자의 기준으로 환산하여 계산을 수행합니다.

* 방식 B (공기를 포함하여 전체 기준으로 계산): 혼합 가스 전체를 $100\%$로 두고 연산하되, 산소/질소/불활성 가스의 폭발한계는 화학적으로 폭발하지 않으므로 무한대($\infty$)로 취급합니다. 따라서 해당 항은

\frac{V_{\text{air}}}{\infty} = 0

이 되어 분모의 계산식에서 자연 소멸하며, 분자에는 전체 $100$이 그대로 대입됩니다.

이상 기체 법칙과의 결합성:

본 공식은 상온, 상압의 표준 상태에서 가장 높은 정확성을 보입니다. 온도 상승 시 분자 운동이 활발해져 폭발하한계는 낮아지고 상한계는 소폭 상승하여 폭발범위가 넓어지며, 압력 상승 시에는 하한계는 거의 불변하나 상한계가 대폭 증가하여 폭발 범위가 극대화되는 경향을 가집니다.

소수점 처리의 실전 기준:

국가기술자격 주관식 필답형 시험 채점 표준에 의거하여 별도의 자릿수 가공 지침이 없을 때 모든 계산 연산 도중 및 최종 결과 수치는 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 일치시켜 정돈합니다.

풀이 순서

1단계: 혼합물 가스의 성분표를 보고 각 성분의 종류, 체적비($V_i$), 그리고 개별 하한계($LEL_i$) 및 상한계($UEL_i$) 수치를 매칭하여 오기 없이 수집합니다.
2단계: 가연성 성분의 비율 합이 $100\%$가 되지 않거나 공기가 혼합된 경우, 가연성 성분 비율의 총합을 구하여 보정 비율을 설정합니다.
3단계: 분모 식인 각 지로의 분율 합($\sum \frac{V_i}{L_i}$)을 계산기를 이용해 정밀하게 산출합니다.
4단계: 분자 수치($100$ 또는 가연성 총합 $V_t$)를 3단계에서 구한 분모 합산값으로 나누어 최종 혼합가스의 한계치를 도출하고, 단위를 병기하여 답안을 작성합니다.

예제 문제

문제 1

메탄 $45\text{ vol\%}$, 에탄 $35\text{ vol\%}$, 프로판 $20\text{ vol\%}$로 구성된 혼합가스가 있다. 각 가스의 공기 중 폭발하한계가 메탄 $5.0\text{ vol\%}$, 에탄 $3.0\text{ vol\%}$, 프로판 $2.1\text{ vol\%}$일 때, 르샤틀리에 공식을 이용하여 이 혼합가스의 폭발하한계($\text{vol\%}$)를 구하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

문제 2

어느 석유화학 공정에서 누출되어 유입된 혼합 가스의 조성을 분석한 결과 메탄 $65\text{ vol\%}$, 에탄 $15\text{ vol\%}$, 프로판 $10\text{ vol\%}$, 부탄 $10\text{ vol\%}$의 체적 비율을 나타냈다. 아래 표의 개별 연소 특성 데이터를 근거로 하여 이 혼합 가스의 전체 폭발 범위(폭발하한계 및 폭발상한계, 단위: $\text{vol\%}$)를 산출하시오. (단, 최종 결과는 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 정제하여 구하시오.)

가스 종류	폭발하한계 ($LEL_i$, $\text{vol\%}$)	폭발상한계 ($UEL_i$, $\text{vol\%}$)
메탄 ($\text{CH}_4$)	$5.0$	$15.0$
에탄 ($\text{C}_2\text{H}_6$)	$3.0$	$12.5$
프로판 ($\text{C}_3\text{H}_8$)	$2.1$	$9.5$
부탄 ($\text{C}_4\text{H}_{10}$)	$1.9$	$8.5$

문제 3

연소 시험장 내부에서 유출된 프로판가스와 메탄가스가 $4:1$의 체적 비율(부피비)로 혼합되어 정체되어 있다. 프로판의 폭발하한계가 $2.1\text{ vol\%}$이고 메탄의 폭발하한계가 $5.0\text{ vol\%}$일 때, 이 가연성 혼합가스의 안전설계를 위한 폭발하한계($\text{vol\%}$)를 구하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

문제 4

어느 가연성 위험물 보관 창고에 배치된 가스 경보기가 오작동하였다. 정밀 분석 장비로 내부 공기를 포집하여 측정한 결과, 혼합가스의 성분이 메탄 $1.5\text{ vol\%}$, 헥산 $1.5\text{ vol\%}$, 에틸렌 $2.0\text{ vol\%}$, 그리고 공기가 $95.0\text{ vol\%}$ 포함되어 있는 것으로 검지되었다. 다음 각 물음에 알맞은 답안을 작성하시오. (단, 메탄, 헥산, 에틸렌의 단독 폭발하한계는 각각 $5.0\text{ vol\%}$, $1.1\text{ vol\%}$, $2.7\text{ vol\%}$ 이며, 최종 수치는 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

혼합가스 중 공기를 제외한 순수 가연성 가스 성분만을 기준으로 환산한 혼합가스 자체의 폭발하한계($\text{vol\%}$)를 구하시오.
공기를 포함하여 가스가 유출된 혼합기체 전체 상태를 기준으로 계산하였을 때의 실질적인 가동 폭발하한계($\text{vol\%}$)를 구하시오.

문제 5

디에틸에테르와 에틸알코올이 가열 증발하여 공기 중에 각각 $70: 30$의 체적비로 혼합되어 정체되어 있다. 디에틸에테르의 폭발하한계가 $1.9\text{ vol\%}$이고 에틸알코올의 폭발하한계가 $4.3\text{ vol\%}$일 때, 르샤틀리에 공식을 대입하여 이 혼합 증기의 최종 폭발하한계($\text{vol\%}$)를 계산하시오.

해설

해설 1

문제 조건 확인:

성분별 체적비 ($V_i$): 메탄 $V_1 = 45\%$, 에탄 $V_2 = 35\%$, 프로판 $V_3 = 20\%$ (합산 $V_{\text{total}} = 100\%$)
성분별 폭발하한 ($LEL_i$): 메탄 $LEL_1 = 5.0\%$, 에탄 $LEL_2 = 3.0\%$, 프로판 $LEL_3 = 2.1\%$

르샤틀리에 하한계 공식 적용:

LEL_m = \frac{100}{\frac{V_1}{LEL_1} + \frac{V_2}{LEL_2} + \frac{V_3}{LEL_3}}

LEL_m = \frac{100}{\frac{45}{5.0} + \frac{35}{3.0} + \frac{20}{2.1}}

분모의 분수값 계산:

메탄 항: $\frac{45}{5.0} = 9$

* 에탄 항:

\frac{35}{3.0} = 11.666667

* 프로판 항:

\frac{20}{2.1} = 9.523810

분모 총합 $= 9 + 11.666667 + 9.523810 = 30.190476$

최종 혼합 가스 LEL 계산 및 반올림:

LEL_m = \frac{100}{30.190476} \approx 3.3123 \text{ vol\%}

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리로 정리합니다.

3.3123 \approx 3.31\text{ vol\%}

정답: $3.31\text{ vol\%}$

해설 2

혼합가스의 폭발하한계 ($LEL_m$) 계산:

수식을 설정하고 주어진 인자값들을 대입합니다.

LEL_m = \frac{100}{\frac{65}{5.0} + \frac{15}{3.0} + \frac{10}{2.1} + \frac{10}{1.9}}

분모의 각 항을 산출합니다.

\sum \frac{V_i}{LEL_i} = 13 + 5 + 4.761905 + 5.263158 = 28.025063

나눗셈을 실행합니다.

LEL_m = \frac{100}{28.025063} \approx 3.5682 \text{ vol\%}

소수점 셋째 자리에서 반올림합니다.

3.5682 \approx 3.57\text{ vol\%}

혼합가스의 폭발상한계 ($UEL_m$) 계산:

수식을 설정하고 주어진 인자값들을 대입합니다.

UEL_m = \frac{100}{\frac{65}{15.0} + \frac{15}{12.5} + \frac{10}{9.5} + \frac{10}{8.5}}

분모의 각 항을 산출합니다.

\sum \frac{V_i}{UEL_i} = 4.333333 + 1.2 + 1.052632 + 1.176471 = 7.762436

나눗셈을 실행합니다.

UEL_m = \frac{100}{7.762436} \approx 12.8826 \text{ vol\%}

소수점 셋째 자리에서 반올림합니다.

12.8826 \approx 12.88\text{ vol\%}

정답: 폭발하한계: $3.57\text{ vol\%}$, 폭발상한계: $12.88\text{ vol\%}$

해설 3

체적 비율 백분율 환산:

프로판과 메탄의 체적비가 $4: 1$이므로 전체 분량 $5$ 중에서 차지하는 백분율 비율로 변환합니다.

\text{프로판 비율}(V_1) = \frac{4}{4+1} \times 100 = 80\%

\text{메탄 비율}(V_2) = \frac{1}{4+1} \times 100 = 20\%

공식 대입 및 계산:

프로판 LEL $2.1\%$, 메탄 LEL $5.0\%$ 수치를 대입합니다.

LEL_m = \frac{100}{\frac{80}{2.1} + \frac{20}{5.0}}

\text{분모} = 38.095238 + 4 = 42.095238

LEL_m = \frac{100}{42.095238} \approx 2.3756 \text{ vol\%}

소수점 마감:

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 둘째 자리로 나타냅니다.

2.3756 \approx 2.38\text{ vol\%}

정답: $2.38\text{ vol\%}$

해설 4

문항 1 해설 (공기 제외 가연성 성분만의 기준):

공기를 배제한 가연성 가스 총합 체적은 $1.5 + 1.5 + 2.0 = 5.0\text{ vol\%}$ 입니다.
이 $5.0\%$를 총 $100\%$ 기준의 가연성 가스로 다시 비율 보정 환산합니다.

\text{메탄 보정비}(V_1) = \frac{1.5}{5.0} \times 100 = 30\%

\text{헥산 보정비}(V_2) = \frac{1.5}{5.0} \times 100 = 30\%

\text{에틸렌 보정비}(V_3) = \frac{2.0}{5.0} \times 100 = 40\%

환산된 보정 비율과 개별 LEL 값을 공식에 대입합니다.

LEL_m = \frac{100}{\frac{30}{5.0} + \frac{30}{1.1} + \frac{40}{2.7}}

\text{분모} = 6 + 27.272727 + 14.814815 = 48.087542

LEL_m = \frac{100}{48.087542} \approx 2.0795 \text{ vol\%}

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 둘째 자리까지 구합니다.

2.0795 \approx 2.08\text{ vol\%}

문항 2 해설 (공기 포함 혼합물질 전체 기준):

공기 $95.0\text{ vol\%}$를 포함하여 분자에 $100\%$ 전체를 둡니다.
이때 공기 분율의 한계값 분모는 무한대($\infty$)로 취급하여 소거합니다.

LEL_{\text{total}} = \frac{100}{\frac{1.5}{5.0} + \frac{1.5}{1.1} + \frac{2.0}{2.7} + \frac{95.0}{\infty}}

LEL_{\text{total}} = \frac{100}{0.3 + 1.363636 + 0.740741 + 0} = \frac{100}{2.404377} \approx 41.5908 \text{ vol\%}

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 둘째 자리까지 나타냅니다.

41.5908 \approx 41.59\text{ vol\%}

정답: 1. $2.08\text{ vol\%}$ / 2. $41.59\text{ vol\%}$

해설 5

르샤틀리에 하한계 공식 적용:

대입 변수: 디에틸에테르 비율 $V_1 = 70\%$, 하한 $1.9\%$, 에틸알코올 비율 $V_2 = 30\%$, 하한 $4.3\%$

LEL_m = \frac{100}{\frac{70}{1.9} + \frac{30}{4.3}}

연산 도출:

\text{분모} = 36.842105 + 6.976744 = 43.818849

LEL_m = \frac{100}{43.818849} \approx 2.2821 \text{ vol\%}

소수점 마감:

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 둘째 자리까지 나타냅니다.

2.2821 \approx 2.28\text{ vol\%}

정답: $2.28\text{ vol\%}$

🔍 다음 장인 ‘필답 43. 화학 양론농도 및 연소하한계와 상한계 계산’과 존스(Jones) 공식을 활용한 화합물 화학양론계수($C_{st}$) 도출 및 폭발범위 매칭 파트에 대해서도 이처럼 엄격한 공식 고증과 교재 수록용 5문제를 포함하여 연동 정리해 드릴까요?

필답 42. 르샤틀리에 공식을 이용한 혼합가스 폭발범위 계산

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