필답 54. 토사 사면의 안전율 및 사면 활동 저항 저지력 평가 – 전체

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설명

정의

토사 사면(Soil Slope): 성토(흙을 쌓음), 절토(흙을 깎음) 또는 자연적인 지형에 의해 경사지게 형성된 지반을 의미하며, 자중 및 외부 요인에 의해 붕괴하려는 경향을 가집니다.
사면 활동(Slope Sliding/Failure): 사면을 구성하는 토괴(Soil Mass)가 자중, 지하수, 진동 등의 외력으로 인해 전단력을 받아 아래쪽으로 미끄러져 내리는 지반 붕괴 현상입니다.
사면 안전율(Safety Factor, $Fs$): 사면의 전단 변형 및 붕괴에 대해 지반이 저항할 수 있는 총 전단 저항력(저항 모멘트)과 사면을 미끄러뜨리려는 활동력(활동 모멘트)의 비를 정량적으로 평가한 지표입니다.
임계 한계고(Critical Height, $H_c$): 점착력이 있는 지반을 수직 또는 급경사로 굴착할 때, 흙막이벽이나 지보공 등 별도의 지지 구조물 없이 사면이 붕괴하지 않고 자립할 수 있는 이론적인 최대 굴착 한계 높이입니다.

공식

평면파괴 사면의 안전율 ($Fs$) 산출 공식:

지반 파괴 활동면의 경사각이 $\theta$, 점착력이 $C$, 파괴면의 총 길이가 $L$, 내부마찰각이 $\phi$, 미끄러지는 토괴의 총 자중이 $W$일 때 평면 슬라이딩에 대한 안전율은 다음과 같습니다.

Fs = \frac{\text{저항력}(R)}{\text{활동력}(T)} = \frac{C \cdot L + W \cos \theta \tan \phi}{W \sin \theta}

여기서 사용되는 각 변수의 정의와 단위는 다음과 같습니다.

$Fs$: 사면 안전율 (무차원 수)
$C$: 토사의 고유 점착력 (단위: $\text{kN/m}^2$)
$L$: 가상의 미끄러짐 파괴 활동면 길이 (단위: $\text{m}$)
$\phi$: 토사의 내부마찰각 (단위: 도, $^\circ$)
$W$: 슬라이딩하는 토괴의 총 중량 (단위: $\text{kN}$)
$\theta$: 활동면의 경사각 (단위: 도, $^\circ$)

지하수압(간극수압, $U$)의 작용을 고려한 사면 안전율 공식:

강우나 지하수위 상승으로 인해 슬라이딩 파괴면에 간극수압 $U$가 작용하여 유효 수직 응력을 감소시킬 때의 안전율입니다.

Fs = \frac{C \cdot L + (W \cos \theta – U) \tan \phi}{W \sin \theta}

$U$: 활동면에 작용하는 총 간극수압(부력 또는 수압) (단위: $\text{kN}$)

점착력이 없는 모래 사면(사질토, $C = 0$)의 안전율 공식:

점착력이 전혀 없는 완전 건조 상태의 모래 사면에서는 토괴의 자중이 상쇄되어 마찰각과 경사각만으로 안전율이 결정됩니다.

Fs = \frac{\tan \phi}{\tan \theta}

수직 굴착면의 한계고 ($H_c$) 계산 공식:

토사의 단위체적중량이 $\gamma$, 점착력이 $C$, 내부마찰각이 $\phi$일 때 주동토압이 작용하는 수직 굴착면의 자립 한계 높이는 다음과 같습니다.

H_c = \frac{4C}{\gamma \sqrt{K_a}}\ \text{(m)}

여기서 사용되는 각 변수의 정의와 단위는 다음과 같습니다.

$H_c$: 수직 자립 가능한 한계고 (단위: $\text{m}$)
$\gamma$: 토사의 단위체적중량 (단위: $\text{kN/m}^3$)

* $K_a$: 랭킨(Rankine)의 주동토압계수 (

K_a = \tan^2 \left( 45^\circ – \frac{\phi}{2} \right)

, 무차원 수)

원호 활동(Slip Circle) 사면의 안전율 공식:

회전 미끄러짐 파괴가 예상되는 사면에서 가상의 원호 중심에 작용하는 저항 모멘트 $M_R$과 활동(전도) 모멘트 $M_D$의 비로 나타내는 안전율입니다.

Fs = \frac{\text{저항 모멘트}(M_R)}{\text{활동 모멘트}(M_D)} = \frac{(C \cdot L) \times R}{W \times d}

$R$: 가상 원호 파괴면의 반지름 (단위: $\text{m}$)
$L$: 원호 파괴면 전체의 수직 투영 곡선 길이 (단위: $\text{m}$)
$d$: 토괴의 무게중심에서 원호 중심까지의 수평 이격 거리 (단위: $\text{m}$)

적용 조건

사면의 안정성 판정 조건:

$Fs > 1.0$: 이론상 사면 활동이 발생하지 않고 평형을 이루어 안전한 상태입니다.
$Fs \le 1.0$: 저항력이 부족하여 사면 활동 붕괴가 즉각적으로 발생합니다.
법적·공학적 설계 기준에 따라, 평상시(건기) 사면 설계 기준은 안전율 $Fs \ge 1.50$, 우기 및 임시 굴착 시에는 $Fs \ge 1.20$ 이상을 보수적으로 충족하여야 안전한 것으로 판정합니다.

단위 및 삼각함수 연산 주의:

각도 수치($\theta, \phi$)를 공학용 계산기에 입력할 때, 계산기 모드가 라디안($\text{Rad}$)이 아닌 디그리($\text{Deg}$) 모드로 정확히 세팅되어 있는지 확인해야 합니다.
단위 면적당 점착력 $C(\text{kN/m}^2)$과 파괴면의 길이 $L(\text{m})$을 곱하면 단위 폭($1\text{m}$)당 저항력 수치가 정합됩니다.

소수점 마감 기준:

주관식 자격증 주관처 채점 기준에 맞추어 별도 가공 단서가 없으면 계산 도중 및 최종 도출 결과는 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 일치시킵니다.

풀이 순서

1단계: 지문에서 요구하는 사면 활동 형태(평면파괴, 마찰각 지반, 수직 굴착 지반 등)를 구별하고 주어진 물리적 변수들을 수집합니다.
2단계: 각 상황에 매칭되는 지반 안전율 혹은 한계고 기본 공식을 설정합니다.
3단계: 내부마찰각과 사면각을 바탕으로 삼각함수와 주동토압계수($K_a$)를 먼저 정밀하게 산산 연산합니다.
4단계: 유도된 공식에 준비된 모든 지반 수치를 대입하여 사칙연산을 풀이하고, 최종 소수점 규정에 따라 값을 반올림 마감하여 정답을 확정합니다.

예제 문제

문제 1

어느 절토 사면의 평면파괴 안정성을 검토하고자 한다. 미끄러지는 토괴의 총 중량 $W = 150\ \text{kN}$, 사면의 경사각 $\theta = 35^\circ$, 가상의 파괴 활동면 길이 $L = 8\ \text{m}$이다. 토사의 점착력 $C = 12\ \text{kN/m}^2$, 내부마찰각 $\phi = 20^\circ$일 때, 이 사면의 안전율($Fs$)을 계산하고 평시 법적 안전기준($Fs \ge 1.50$)에 근거한 안정성 여부(안정/불안정)를 판정하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.)

문제 2

점착력이 존재하지 않는 완전 건조된 사질토 사면이 있다. 이 모래의 내부마찰각 $\phi = 30^\circ$이고, 현재 설계된 사면의 경사각 $\theta = 25^\circ$일 때, 다음 각 물음에 알맞은 답안을 작성하시오. (단, 최종 수치는 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

이 모래 사면의 현재 지반 안전율($Fs$)을 계산하시오.
기후 변동에 안전하게 대비하기 위하여 임시 굴착 목표 안전율 $Fs = 1.15$를 고수하고자 할 때, 시공 가능한 사면의 최대 경사각($\theta_{\max}$, 단위: 도, $^\circ$)을 역산하여 계산하시오.

문제 3

지하수위가 급격하게 상승하여 슬라이딩 활동면 전체에 고압의 침투 간극수압(부력)이 균일하게 작용하는 연약 점성토 사면이 있다. 사면 토괴의 총 중량 $W = 220\ \text{kN}$, 사면 경사각 $\theta = 30^\circ$, 파괴면 길이 $L = 12\ \text{m}$이며, 지반의 점착력 $C = 10\ \text{kN/m}^2$, 내부마찰각 $\phi = 24^\circ$이다. 지하수 상승에 기인한 슬라이딩면 상의 총 간극수압 $U = 35\ \text{kN}$이 상향으로 가해질 때, 이 사면의 실질적인 안전율($Fs$)을 산출하시오. (단, 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.)

문제 4

어느 지하 도시고속도로 굴착 현장에서 점성토 사면을 지보공이나 흙막이벽의 시공 없이 수직으로 안전하게 자립시켜 굴착하고자 한다. 지반 분석 결과 흙의 점착력 $C = 15\ \text{kN/m}^2$, 단위체적중량 $\gamma = 17\ \text{kN/m}^3$, 내부마찰각 $\phi = 12^\circ$로 규명되었다. 이 현장에서 무너지지 않고 자립 가능한 이론상의 최대 한계고($H_c$, 단위: $\text{m}$)를 구하시오. (단, 주동토압계수 $K_a$ 값과 최종 한계 높이는 모두 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.)

문제 5

회전 미끄러짐 원호 활동 파괴(Slip Circle Failure)가 일어날 가능성이 큰 법면 점성토 사면이 존재한다. 가상의 원호 활동 파괴면 반지름 $R = 8\ \text{m}$, 파괴면 전체의 수직 투영 곡선 길이 $L = 16\ \text{m}$이며, 토사의 점착력 $C = 20\ \text{kN/m}^2$이다. 붕괴 위험 범위 내부 토괴의 자중 $W = 350\ \text{kN}$이고, 이 토괴의 무게중심에서 가상의 회전 원호 중심까지 수평 거리가 $d = 3.6\ \text{m}$일 때, 원호 미끄러짐에 대한 사면 안전율($Fs$)을 계산하시오. (단, 활동면 내부마찰력은 무시하며, 최종 결과는 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내시오.)

해설

해설 1

사면의 총 저항력 ($R$) 계산:

대입 수치: $W = 150\ \text{kN}$, $\theta = 35^\circ$, $L = 8\ \text{m}$, $C = 12\ \text{kN/m}^2$, $\phi = 20^\circ$

R = C \cdot L + W \cos \theta \tan \phi

R = 12 \times 8 + 150 \times \cos 35^\circ \times \tan 20^\circ

삼각함수 연산수치: $\cos 35^\circ \approx 0.819152$, $\tan 20^\circ \approx 0.363970$

R = 96 + 150 \times 0.819152 \times 0.363970 \approx 96 + 44.722 = 140.722\ \text{kN}

사면의 활동력 ($T$) 계산:

T = W \sin \theta

T = 150 \times \sin 35^\circ

삼각함수 연산수치: $\sin 35^\circ \approx 0.573576$

T = 150 \times 0.573576 \approx 86.036\ \text{kN}

최종 안전율 ($Fs$) 계산 및 판정:

Fs = \frac{R}{T} = \frac{140.722}{86.036} \approx 1.6356

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 둘째 자리로 정리하면 $1.64$가 됩니다.
판정: 산출된 안전율 $Fs = 1.64$는 평시 안전기준 하한치인 $1.50$ 이상이므로 ($1.64 \ge 1.50$), 사면은 ‘안정’한 상태입니다.

정답: 안전율: 1.64, 판정: 안정

해설 2

문항 1 해설 (현재 모래 사면 안전율 계산):

* 사질토 사면이므로 안전율 간소화 식인

Fs = \frac{\tan \phi}{\tan \theta}

를 사용합니다.

대입 변수: $\phi = 30^\circ$, $\theta = 25^\circ$

Fs = \frac{\tan 30^\circ}{\tan 25^\circ}

삼각함수 연산수치: $\tan 30^\circ \approx 0.577350$, $\tan 25^\circ \approx 0.466308$

Fs = \frac{0.577350}{0.466308} \approx 1.2381

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 정리합니다.

Fs \approx 1.24

문항 2 해설 (허용 가능한 최대 사면 경사각 역산):

목표 안전율 $Fs = 1.15$ 조건식을 수립합니다.

Fs = \frac{\tan 30^\circ}{\tan \theta_{\max}} = 1.15

\tan \theta_{\max} = \frac{\tan 30^\circ}{1.15} = \frac{0.577350}{1.15} \approx 0.502043

\theta_{\max} = \arctan(0.502043) \approx 26.6587^\circ

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 정리합니다.

\theta_{\max} \approx 26.66^\circ

정답: 1. 1.24 / 2. 26.66°

해설 3

간극수압의 영향을 가산한 사면 안전율 공식 수립:

Fs = \frac{C \cdot L + (W \cos \theta – U) \tan \phi}{W \sin \theta}

공식 인자 대입 및 연산:

분자 (총 저항력 $R$) 계산:

R = 10 \times 12 + (220 \times \cos 30^\circ – 35) \times \tan 24^\circ

$\cos 30^\circ \approx 0.866025$, $\tan 24^\circ \approx 0.445229$ 대입

R = 120 + (220 \times 0.866025 – 35) \times 0.445229

R = 120 + (190.5255 – 35) \times 0.445229 = 120 + 155.5255 \times 0.445229 \approx 120 + 69.245 = 189.245\ \text{kN}

분모 (총 활동력 $T$) 계산:

T = 220 \times \sin 30^\circ = 220 \times 0.5 = 110\ \text{kN}

사면 안전율 ($Fs$) 연산 및 마감:

Fs = \frac{189.245}{110} \approx 1.7204

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 최종 소수 둘째 자리로 기재합니다.

Fs \approx 1.72

정답: 1.72

해설 4

주동토압계수 ($K_a$) 계산:

내부마찰각 $\phi = 12^\circ$를 적용해 주동토압계수를 구합니다.

K_a = \tan^2 \left( 45^\circ – \frac{12^\circ}{2} \right) = \tan^2(39^\circ)

삼각함수 연산수치: $\tan(39^\circ) \approx 0.809784$

K_a = 0.809784^2 \approx 0.655750

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리로 중간 정리하면 $0.66$이 됩니다.

수직 굴착 자립 한계고 ($H_c$) 산출:

점착력 $C = 15\ \text{kN/m}^2$, 단위체적중량 $\gamma = 17\ \text{kN/m}^3$ 및 정밀 소수점 하한 주동토압계수를 한계고 공식에 대입합니다.

H_c = \frac{4C}{\gamma \sqrt{K_a}}

H_c = \frac{4 \times 15}{17 \times \sqrt{0.655750}} = \frac{60}{17 \times 0.809784} = \frac{60}{13.766328} \approx 4.35847\ \text{m}

*(단, 중간 반올림 값인 $K_a = 0.66$으로 가공 연산 시:

\frac{60}{17 \times \sqrt{0.66}} \approx \frac{60}{17 \times 0.8124} \approx 4.344\ \text{m}

가 나오므로 가급적 정밀 연계 계산식을 사용하는 것이 좋습니다.)*

소수점 정리:

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 정리합니다.

H_c \approx 4.36\ \text{m}

정답: $4.36\ \text{m}$ (또는 주동토압계수 $K_a = 0.66$ 적용 시 $4.34\ \text{m}$)

해설 5

원호 중심에 작용하는 저항 모멘트 ($M_R$) 계산:

점착력에 의한 원호 저항 전단력:

F_R = C \times L = 20 \times 16 = 320\ \text{kN}

원호 반경 $R = 8\ \text{m}$이 모멘트 팔 길이이므로 이를 곱해 줍니다.

M_R = F_R \times R = 320 \times 8 = 2,560\ \text{kN}\cdot\text{m}

원호 중심에 작용하는 활동 모멘트 ($M_D$) 계산:

토괴의 하중 중량 $W = 350\ \text{kN}$, 수평 이격 거리 $d = 3.6\ \text{m}$이므로 전도 활동 모멘트는 다음과 같습니다.

M_D = W \times d = 350 \times 3.6 = 1,260\ \text{kN}\cdot\text{m}

사면 안전율 ($Fs$) 산출:

Fs = \frac{M_R}{M_D} = \frac{2,560}{1,260} \approx 2.03175

소수점 셋째 자리에서 반올림하여 최종 둘째 자리로 나타냅니다.

Fs \approx 2.03

정답: 2.03

필답 54. 토사 사면의 안전율 및 사면 활동 저항 저지력 평가

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